Leysa {l}{5x-4y=-3}{3x-4y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-4y=-3$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=4y-3$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 4y-3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Settu \frac{4y-3}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-4y=-13.

$$3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{4y-3}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13$$

Leggðu \frac{12y}{5} saman við -4y.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13$$

Leggðu \frac{9}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{8}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

Margfaldaðu \frac{4}{5} sinnum 7.

$$x=\frac{28-3}{5}$$

Leggðu -\frac{3}{5} saman við \frac{28}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Dragðu 3x-4y=-13 frá 5x-4y=-3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-3x-4y+4y=-3+13$$

Leggðu -4y saman við 4y. Liðirnir -4y og 4y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5x-3x=-3+13$$

Leggðu 5x saman við -3x.

$$2x=-3+13$$

Leggðu -3 saman við 13.

$$2x=10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=5$$

Skiptu 5 út fyrir x í 3x-4y=-13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3\times 5-4y=-13$$

Margfaldaðu 3 sinnum 5.

$$15-4y=-13$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=-28$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=7$$