Leysa {l}{5x-3y=6}{4x+2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 6 } \\ { 4 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{21}{22}\approx 0.954545455$$

$$y=-\frac{9}{22}\approx -0.409090909$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-3y=6$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=3y+6$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 6+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Settu \frac{6+3y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+2y=3.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=3$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{6+3y}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{24}{5}+2y=3$$

Leggðu \frac{12y}{5} saman við 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{24}{5}=3$$

Dragðu \frac{24}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{22}{5}y=-\frac{9}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{22}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{9}{22}$$

Skiptu -\frac{9}{22} út fyrir y í x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{9}{22}\right)+\frac{6}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3}{5} sinnum -\frac{9}{22} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{27}{110}+\frac{6}{5}$$

Leggðu \frac{6}{5} saman við -\frac{27}{110} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{21}{22}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 6+\frac{3}{22}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 6+\frac{5}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{22}\\-\frac{9}{22}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Til að gera 5x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 6,5\times 4x+5\times 2y=5\times 3$$

Einfaldaðu.

$$20x-12y=24,20x+10y=15$$

Dragðu 20x+10y=15 frá 20x-12y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x-12y-10y=24-15$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y-10y=24-15$$

Leggðu -12y saman við -10y.

$$-22y=24-15$$

Leggðu 24 saman við -15.

$$-22y=9$$

Deildu báðum hliðum með -22.

$$y=-\frac{9}{22}$$

Skiptu -\frac{9}{22} út fyrir y í 4x+2y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+2\left(-\frac{9}{22}\right)=3$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{9}{22}.

$$4x-\frac{9}{11}=3$$

Leggðu \frac{9}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{42}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{21}{22}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$