Leysa {l}{5x-2y=48}{2x+3y=-23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 48 } \\ { 2 x + 3 y = - 23 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{98}{19} = 5\frac{3}{19} \approx 5.157894737$$

$$y = -\frac{211}{19} = -11\frac{2}{19} \approx -11.105263158$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-2y=48,2x+3y=-23$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-2y=48$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=2y+48$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+48\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 48+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}$$

Settu \frac{48+2y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=-23.

$$2\left(\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}\right)+3y=-23$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{48+2y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{96}{5}+3y=-23$$

Leggðu \frac{4y}{5} saman við 3y.

$$\frac{19}{5}y+\frac{96}{5}=-23$$

Dragðu \frac{96}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{5}y=-\frac{211}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{211}{19}$$

Skiptu -\frac{211}{19} út fyrir y í x=\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{5}\left(-\frac{211}{19}\right)+\frac{48}{5}$$

Margfaldaðu \frac{2}{5} sinnum -\frac{211}{19} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{422}{95}+\frac{48}{5}$$

Leggðu \frac{48}{5} saman við -\frac{422}{95} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{98}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{98}{19},y=-\frac{211}{19}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-2y=48,2x+3y=-23$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\left(-23\right)\\-\frac{2}{19}\times 48+\frac{5}{19}\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{19}\\-\frac{211}{19}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{98}{19},y=-\frac{211}{19}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-2y=48,2x+3y=-23$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=2\times 48,5\times 2x+5\times 3y=5\left(-23\right)$$

Einfaldaðu.

$$10x-4y=96,10x+15y=-115$$

Dragðu 10x+15y=-115 frá 10x-4y=96 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-4y-15y=96+115$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-15y=96+115$$

Leggðu -4y saman við -15y.

$$-19y=96+115$$

Leggðu 96 saman við 115.

$$-19y=211$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=-\frac{211}{19}$$

Skiptu -\frac{211}{19} út fyrir y í 2x+3y=-23. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\left(-\frac{211}{19}\right)=-23$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{211}{19}.

$$2x-\frac{633}{19}=-23$$

Leggðu \frac{633}{19} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=\frac{196}{19}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{98}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{98}{19},y=-\frac{211}{19}$$