Leysa {l}{5x-2y=14}{3x+7y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-2y=14$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=2y+14$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 14+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

Settu \frac{14+2y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+7y=21.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{14+2y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

Leggðu \frac{6y}{5} saman við 7y.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

Dragðu \frac{42}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{41}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{63}{41}$$

Skiptu \frac{63}{41} út fyrir y í x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

Margfaldaðu \frac{2}{5} sinnum \frac{63}{41} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

Leggðu \frac{14}{5} saman við \frac{126}{205} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{140}{41}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

Einfaldaðu.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

Dragðu 15x+35y=105 frá 15x-6y=42 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-35y=42-105$$

Leggðu -6y saman við -35y.

$$-41y=42-105$$

Leggðu 42 saman við -105.

$$-41y=-63$$

Deildu báðum hliðum með -41.

$$y=\frac{63}{41}$$

Skiptu \frac{63}{41} út fyrir y í 3x+7y=21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{63}{41}.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

Dragðu \frac{441}{41} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{420}{41}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{140}{41}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$