Leysa {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=30$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+y=35$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-y+35$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -y+35.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

Settu -\frac{y}{5}+7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+1,1y=40.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1,1y=40$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{y}{5}+7.

$$-\frac{7}{5}y+49+1,1y=40$$

Leggðu -\frac{7y}{5} saman við \frac{11y}{10}.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

Dragðu 49 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{10}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í x=-\frac{1}{5}y+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum 30.

$$x=-6+7$$

Leggðu 7 saman við -6.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1;y=30$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1,1}{5\times 1,1-7}&-\frac{1}{5\times 1,1-7}\\-\frac{7}{5\times 1,1-7}&\frac{5}{5\times 1,1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1;y=30$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Til að gera 5x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$7\times 5x+7y=7\times 35;5\times 7x+5\times 1,1y=5\times 40$$

Einfaldaðu.

$$35x+7y=245;35x+5,5y=200$$

Dragðu 35x+5,5y=200 frá 35x+7y=245 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$35x-35x+7y-5,5y=245-200$$

Leggðu 35x saman við -35x. Liðirnir 35x og -35x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7y-5,5y=245-200$$

Leggðu 7y saman við -\frac{11y}{2}.

$$1,5y=245-200$$

Leggðu 245 saman við -200.

$$1,5y=45$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 1,5. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í 7x+1,1y=40. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+1,1\times 30=40$$

Margfaldaðu 1,1 sinnum 30.

$$7x+33=40$$

Dragðu 33 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=7$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1;y=30$$