Leysa {l}{5x+9y=40}{3x+7y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 9 y = 40 } \\ { 3 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{253}{8} = 31\frac{5}{8} = 31.625$$

$$y = -\frac{105}{8} = -13\frac{1}{8} = -13.125$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+9y=40$$

Dragðu 9y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-9y+40$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-9y+40\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -9y+40.

$$x=-\frac{9}{5}y+8$$

Settu -\frac{9y}{5}+8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+7y=3.

$$3\left(-\frac{9}{5}y+8\right)+7y=3$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{9y}{5}+8.

$$-\frac{27}{5}y+24+7y=3$$

Leggðu -\frac{27y}{5} saman við 7y.

$$\frac{8}{5}y+24=3$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{8}{5}y=-21$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{8}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{105}{8}$$

Skiptu -\frac{105}{8} út fyrir y í x=-\frac{9}{5}y+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{9}{5}\left(-\frac{105}{8}\right)+8$$

Margfaldaðu -\frac{9}{5} sinnum -\frac{105}{8} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{189}{8}+8$$

Leggðu 8 saman við \frac{189}{8}.

$$x=\frac{253}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-9\times 3}&-\frac{9}{5\times 7-9\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-9\times 3}&\frac{5}{5\times 7-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&-\frac{9}{8}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 40-\frac{9}{8}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 40+\frac{5}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{253}{8}\\-\frac{105}{8}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\times 9y=3\times 40,5\times 3x+5\times 7y=5\times 3$$

Einfaldaðu.

$$15x+27y=120,15x+35y=15$$

Dragðu 15x+35y=15 frá 15x+27y=120 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+27y-35y=120-15$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$27y-35y=120-15$$

Leggðu 27y saman við -35y.

$$-8y=120-15$$

Leggðu 120 saman við -15.

$$-8y=105$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=-\frac{105}{8}$$

Skiptu -\frac{105}{8} út fyrir y í 3x+7y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+7\left(-\frac{105}{8}\right)=3$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{105}{8}.

$$3x-\frac{735}{8}=3$$

Leggðu \frac{735}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{759}{8}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{253}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$