Leysa {l}{5x+6y=37}{3x-6y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 37 } \\ { 3 x - 6 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+6y=37,3x-6y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+6y=37$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-6y+37$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+37\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -6y+37.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{37}{5}$$

Settu \frac{-6y+37}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-6y=3.

$$3\left(-\frac{6}{5}y+\frac{37}{5}\right)-6y=3$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-6y+37}{5}.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{111}{5}-6y=3$$

Leggðu -\frac{18y}{5} saman við -6y.

$$-\frac{48}{5}y+\frac{111}{5}=3$$

Dragðu \frac{111}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{48}{5}y=-\frac{96}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{48}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{6}{5}y+\frac{37}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{6}{5}\times 2+\frac{37}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{6}{5} sinnum 2.

$$x=\frac{-12+37}{5}$$

Leggðu \frac{37}{5} saman við -\frac{12}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+6y=37,3x-6y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{5\left(-6\right)-6\times 3}&-\frac{6}{5\left(-6\right)-6\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-6\right)-6\times 3}&\frac{5}{5\left(-6\right)-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{16}&-\frac{5}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 37+\frac{1}{8}\times 3\\\frac{1}{16}\times 37-\frac{5}{48}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+6y=37,3x-6y=3$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\times 37,5\times 3x+5\left(-6\right)y=5\times 3$$

Einfaldaðu.

$$15x+18y=111,15x-30y=15$$

Dragðu 15x-30y=15 frá 15x+18y=111 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+18y+30y=111-15$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$18y+30y=111-15$$

Leggðu 18y saman við 30y.

$$48y=111-15$$

Leggðu 111 saman við -15.

$$48y=96$$

Deildu báðum hliðum með 48.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 3x-6y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-6\times 2=3$$

Margfaldaðu -6 sinnum 2.

$$3x-12=3$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=15$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=2$$