Leysa {l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+5y=15$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-5y+15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -5y+15.

$$x=-y+3$$

Settu -y+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+10y=-2.

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

Margfaldaðu 4 sinnum -y+3.

$$-4y+12+10y=-2$$

Leggðu -4y saman við 10y.

$$6y+12=-2$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6y=-14$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Skiptu -\frac{7}{3} út fyrir y í x=-y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{7}{3}.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

Leggðu 3 saman við \frac{7}{3}.

$$x=\frac{16}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Til að gera 5x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

Dragðu 20x+50y=-10 frá 20x+20y=60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y-50y=60+10$$

Leggðu 20y saman við -50y.

$$-30y=60+10$$

Leggðu 60 saman við 10.

$$-30y=70$$

Deildu báðum hliðum með -30.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Skiptu -\frac{7}{3} út fyrir y í 4x+10y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

Margfaldaðu 10 sinnum -\frac{7}{3}.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

Leggðu \frac{70}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{64}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{16}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$