Leysa {l}{5x+3y=3}{-1x+2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 3 } \\ { - 1 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{3}{13}\approx -0.230769231$$

$$y = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+3y=3,-x+2y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+3y=3$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-3y+3$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -3y+3.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{3}{5}$$

Settu \frac{-3y+3}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+2y=3.

$$-\left(-\frac{3}{5}y+\frac{3}{5}\right)+2y=3$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{-3y+3}{5}.

$$\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}+2y=3$$

Leggðu \frac{3y}{5} saman við 2y.

$$\frac{13}{5}y-\frac{3}{5}=3$$

Leggðu \frac{3}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{13}{5}y=\frac{18}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{13}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{18}{13}$$

Skiptu \frac{18}{13} út fyrir y í x=-\frac{3}{5}y+\frac{3}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{18}{13}+\frac{3}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{5} sinnum \frac{18}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{54}{65}+\frac{3}{5}$$

Leggðu \frac{3}{5} saman við -\frac{54}{65} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{3}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3}{13},y=\frac{18}{13}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+3y=3,-x+2y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&3\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{5\times 2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-3\left(-1\right)}&\frac{5}{5\times 2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\\\frac{1}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 3-\frac{3}{13}\times 3\\\frac{1}{13}\times 3+\frac{5}{13}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\\\frac{18}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{3}{13},y=\frac{18}{13}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+3y=3,-x+2y=3$$

Til að gera 5x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-5x-3y=-3,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\times 3$$

Einfaldaðu.

$$-5x-3y=-3,-5x+10y=15$$

Dragðu -5x+10y=15 frá -5x-3y=-3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-5x+5x-3y-10y=-3-15$$

Leggðu -5x saman við 5x. Liðirnir -5x og 5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-10y=-3-15$$

Leggðu -3y saman við -10y.

$$-13y=-3-15$$

Leggðu -3 saman við -15.

$$-13y=-18$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$y=\frac{18}{13}$$

Skiptu \frac{18}{13} út fyrir y í -x+2y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+2\times \frac{18}{13}=3$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{18}{13}.

$$-x+\frac{36}{13}=3$$

Dragðu \frac{36}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=\frac{3}{13}$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\frac{3}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3}{13},y=\frac{18}{13}$$