Leysa {l}{5x+2y=14}{4x+1y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 14 } \\ { 4 x + 1 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=14,4x+y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=14$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y+14$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+14\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y+14.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

Settu \frac{-2y+14}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+y=10.

$$4\left(-\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+y=10$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-2y+14}{5}.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{56}{5}+y=10$$

Leggðu -\frac{8y}{5} saman við y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{56}{5}=10$$

Dragðu \frac{56}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{6}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{14}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum 2.

$$x=\frac{-4+14}{5}$$

Leggðu \frac{14}{5} saman við -\frac{4}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=14,4x+y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{5}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 14+\frac{2}{3}\times 10\\\frac{4}{3}\times 14-\frac{5}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=14,4x+y=10$$

Til að gera 5x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$4\times 5x+4\times 2y=4\times 14,5\times 4x+5y=5\times 10$$

Einfaldaðu.

$$20x+8y=56,20x+5y=50$$

Dragðu 20x+5y=50 frá 20x+8y=56 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x+8y-5y=56-50$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-5y=56-50$$

Leggðu 8y saman við -5y.

$$3y=56-50$$

Leggðu 56 saman við -50.

$$3y=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 4x+y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+2=10$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=2$$