Leysa {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-10$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+10y=-70$$

Dragðu 10y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-10y-70$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -10y-70.

$$x=-2y-14$$

Settu -2y-14 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -8x+30y=20.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

Margfaldaðu -8 sinnum -2y-14.

$$16y+112+30y=20$$

Leggðu 16y saman við 30y.

$$46y+112=20$$

Dragðu 112 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$46y=-92$$

Deildu báðum hliðum með 46.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-2y-14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

Margfaldaðu -2 sinnum -2.

$$x=4-14$$

Leggðu -14 saman við 4.

$$x=-10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-10,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-10,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Til að gera 5x og -8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

Einfaldaðu.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

Dragðu -40x+150y=100 frá -40x-80y=560 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

Leggðu -40x saman við 40x. Liðirnir -40x og 40x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-80y-150y=560-100$$

Leggðu -80y saman við -150y.

$$-230y=560-100$$

Leggðu 560 saman við -100.

$$-230y=460$$

Deildu báðum hliðum með -230.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í -8x+30y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

Margfaldaðu 30 sinnum -2.

$$-8x-60=20$$

Leggðu 60 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-8x=80$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=-10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-10,y=-2$$