Leysa {l}{5x+(5i)y=100}{(5i)x+(5-10i)y=60+80i}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + ( 5 i ) y = 100 } \\ { ( 5 i ) x + ( 5 - 10 i ) y = 60 + 80 i } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=22-4i$$

$$y=4+2i$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+5iy=100$$

Dragðu 5iy frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-5iy+100$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5iy+100\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -5iy+100.

$$x=-iy+20$$

Settu -iy+20 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i.

$$5i\left(-iy+20\right)+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Margfaldaðu 5i sinnum -iy+20.

$$5y+100i+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Leggðu 5y saman við \left(5-10i\right)y.

$$\left(10-10i\right)y+100i=60+80i$$

Dragðu 100i frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(10-10i\right)y=60-20i$$

Deildu báðum hliðum með 10-10i.

$$y=4+2i$$

Skiptu 4+2i út fyrir y í x=-iy+20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-i\left(4+2i\right)+20$$

Margfaldaðu -i sinnum 4+2i.

$$x=2-4i+20$$

Leggðu 20 saman við 2-4i.

$$x=22-4i$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5-10i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\\-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&\frac{5}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\\\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\\\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22-4i\\4+2i\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Til að gera 5x og 5ix jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5i og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$5i\times 5x+5i\times \left(5i\right)y=5i\times 100,5\times \left(5i\right)x+5\left(5-10i\right)y=5\left(60+80i\right)$$

Einfaldaðu.

$$25ix-25y=500i,25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i$$

Dragðu 25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i frá 25ix-25y=500i með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$25ix-25ix-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

Leggðu 25ix saman við -25ix. Liðirnir 25ix og -25ix núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

Leggðu -25y saman við \left(-25+50i\right)y.

$$\left(-50+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

Leggðu 500i saman við -300-400i.

$$\left(-50+50i\right)y=-300+100i$$

Deildu báðum hliðum með -50+50i.

$$y=4+2i$$

Skiptu 4+2i út fyrir y í 5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5ix+\left(5-10i\right)\left(4+2i\right)=60+80i$$

Margfaldaðu 5-10i sinnum 4+2i.

$$5ix+\left(40-30i\right)=60+80i$$

Dragðu 40-30i frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5ix=20+110i$$

Deildu báðum hliðum með 5i.

$$x=22-4i$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=22-4i,y=4+2i$$