Leysa {l}{5=3k+b}{-9=-4k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 = 3 k + b } \\ { - 9 = - 4 k + b } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir k, b

$$k=2$$

$$b=-1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3k+b=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$-4k+b=-9$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu k með því að einangra k vinstra megin við samasemmerkið.

$$3k+b=5$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3k=-b+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$k=\frac{1}{3}\left(-b+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -b+5.

$$k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-b+5}{3} inn fyrir k í hinni jöfnunni, -4k+b=-9.

$$-4\left(-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}\right)+b=-9$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{-b+5}{3}.

$$\frac{4}{3}b-\frac{20}{3}+b=-9$$

Leggðu \frac{4b}{3} saman við b.

$$\frac{7}{3}b-\frac{20}{3}=-9$$

Leggðu \frac{20}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{7}{3}b=-\frac{7}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=-1$$

Skiptu -1 út fyrir b í k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst k strax.

$$k=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -1.

$$k=\frac{1+5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við \frac{1}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$k=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=2,b=-1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3k+b=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$-4k+b=-9$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5-\frac{1}{7}\left(-9\right)\\\frac{4}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna k og b.

$$k=2,b=-1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3k+b=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$-4k+b=-9$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Dragðu -4k+b=-9 frá 3k+b=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3k+4k+b-b=5+9$$

Leggðu b saman við -b. Liðirnir b og -b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3k+4k=5+9$$

Leggðu 3k saman við 4k.

$$7k=5+9$$

Leggðu 5 saman við 9.

$$7k=14$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$k=2$$

Skiptu 2 út fyrir k í -4k+b=-9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$-4\times 2+b=-9$$

Margfaldaðu -4 sinnum 2.

$$-8+b=-9$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$b=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=2,b=-1$$