Leysa {l}{46x+35y=12}{35x+46y=116}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 46 x + 35 y = 12 } \\ { 35 x + 46 y = 116 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{3508}{891} = -3\frac{835}{891} \approx -3.93714927$$

$$y = \frac{4916}{891} = 5\frac{461}{891} \approx 5.517396184$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$46x+35y=12,35x+46y=116$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$46x+35y=12$$

Dragðu 35y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$46x=-35y+12$$

Deildu báðum hliðum með 46.

$$x=\frac{1}{46}\left(-35y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{46} sinnum -35y+12.

$$x=-\frac{35}{46}y+\frac{6}{23}$$

Settu -\frac{35y}{46}+\frac{6}{23} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 35x+46y=116.

$$35\left(-\frac{35}{46}y+\frac{6}{23}\right)+46y=116$$

Margfaldaðu 35 sinnum -\frac{35y}{46}+\frac{6}{23}.

$$-\frac{1225}{46}y+\frac{210}{23}+46y=116$$

Leggðu -\frac{1225y}{46} saman við 46y.

$$\frac{891}{46}y+\frac{210}{23}=116$$

Dragðu \frac{210}{23} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{891}{46}y=\frac{2458}{23}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{891}{46}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{4916}{891}$$

Skiptu \frac{4916}{891} út fyrir y í x=-\frac{35}{46}y+\frac{6}{23}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{35}{46}\times \frac{4916}{891}+\frac{6}{23}$$

Margfaldaðu -\frac{35}{46} sinnum \frac{4916}{891} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{86030}{20493}+\frac{6}{23}$$

Leggðu \frac{6}{23} saman við -\frac{86030}{20493} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{3508}{891}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3508}{891},y=\frac{4916}{891}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$46x+35y=12,35x+46y=116$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}46&35\\35&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\116\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}46&35\\35&46\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}46&35\\35&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46&35\\35&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}46&35\\35&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\116\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}46&35\\35&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\116\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}46&35\\35&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\116\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{46\times 46-35\times 35}&-\frac{35}{46\times 46-35\times 35}\\-\frac{35}{46\times 46-35\times 35}&\frac{46}{46\times 46-35\times 35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\116\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{891}&-\frac{35}{891}\\-\frac{35}{891}&\frac{46}{891}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\116\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{891}\times 12-\frac{35}{891}\times 116\\-\frac{35}{891}\times 12+\frac{46}{891}\times 116\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3508}{891}\\\frac{4916}{891}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{3508}{891},y=\frac{4916}{891}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$46x+35y=12,35x+46y=116$$

Til að gera 46x og 35x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 35 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 46.

$$35\times 46x+35\times 35y=35\times 12,46\times 35x+46\times 46y=46\times 116$$

Einfaldaðu.

$$1610x+1225y=420,1610x+2116y=5336$$

Dragðu 1610x+2116y=5336 frá 1610x+1225y=420 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$1610x-1610x+1225y-2116y=420-5336$$

Leggðu 1610x saman við -1610x. Liðirnir 1610x og -1610x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$1225y-2116y=420-5336$$

Leggðu 1225y saman við -2116y.

$$-891y=420-5336$$

Leggðu 420 saman við -5336.

$$-891y=-4916$$

Deildu báðum hliðum með -891.

$$y=\frac{4916}{891}$$

Skiptu \frac{4916}{891} út fyrir y í 35x+46y=116. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$35x+46\times \frac{4916}{891}=116$$

Margfaldaðu 46 sinnum \frac{4916}{891}.

$$35x+\frac{226136}{891}=116$$

Dragðu \frac{226136}{891} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$35x=-\frac{122780}{891}$$

Deildu báðum hliðum með 35.

$$x=-\frac{3508}{891}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3508}{891},y=\frac{4916}{891}$$