Leysa {l}{4x-y=14}{6x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y = 14 } \\ { 6 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-y=14$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=y+14$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+14\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum y+14.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}$$

Settu \frac{y}{4}+\frac{7}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+y=16.

$$6\left(\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}\right)+y=16$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{y}{4}+\frac{7}{2}.

$$\frac{3}{2}y+21+y=16$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við y.

$$\frac{5}{2}y+21=16$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=-5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{7}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -2.

$$x=\frac{-1+7}{2}$$

Leggðu \frac{7}{2} saman við -\frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-6\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-6\right)}\\-\frac{6}{4-\left(-6\right)}&\frac{4}{4-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 14+\frac{1}{10}\times 16\\-\frac{3}{5}\times 14+\frac{2}{5}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

Til að gera 4x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$6\times 4x+6\left(-1\right)y=6\times 14,4\times 6x+4y=4\times 16$$

Einfaldaðu.

$$24x-6y=84,24x+4y=64$$

Dragðu 24x+4y=64 frá 24x-6y=84 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$24x-24x-6y-4y=84-64$$

Leggðu 24x saman við -24x. Liðirnir 24x og -24x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-4y=84-64$$

Leggðu -6y saman við -4y.

$$-10y=84-64$$

Leggðu 84 saman við -64.

$$-10y=20$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 6x+y=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-2=16$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=18$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-2$$