Leysa {l}{4x-ay-4a=0}{ax-4y+6a=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - a y - 4 a = 0 } \\ { a x - 4 y + 6 a = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$|a|\neq 4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

Leggðu 4a saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

Leggðu ay saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=ay+4a$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum a\left(4+y\right).

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

Settu a+\frac{ay}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, ax-4y+6a=0.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

Margfaldaðu a sinnum a+\frac{ay}{4}.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

Leggðu \frac{a^{2}y}{4} saman við -4y.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

Leggðu a^{2} saman við 6a.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

Dragðu a\left(6+a\right) frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

Deildu báðum hliðum með -4+\frac{a^{2}}{4}.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Skiptu -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} út fyrir y í x=\frac{a}{4}y+a. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

Margfaldaðu \frac{a}{4} sinnum -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

Leggðu a saman við -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Til að gera 4x og ax jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með a og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

Einfaldaðu.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

Dragðu 4ax-16y+24a=0 frá 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Leggðu 4ax saman við -4ax. Liðirnir 4ax og -4ax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Leggðu -a^{2}y saman við 16y.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

Leggðu -4a^{2} saman við -24a.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

Leggðu 4a\left(6+a\right) saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

Deildu báðum hliðum með -a^{2}+16.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Skiptu \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} út fyrir y í ax-4y+6a=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Leggðu -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} saman við 6a.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

Leggðu \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Deildu báðum hliðum með a.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$