Leysa {l}{4x-3y=2}{2x+y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 2 } \\ { 2 x + y = - 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-3y=2,2x+y=-4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-3y=2$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=3y+2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=-4.

$$2\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}\right)+y=-4$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{3y}{4}+\frac{1}{2}.

$$\frac{3}{2}y+1+y=-4$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við y.

$$\frac{5}{2}y+1=-4$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=-5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{4} sinnum -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við -\frac{3}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-3y=2,2x+y=-4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-3\times 2\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 2+\frac{3}{10}\left(-4\right)\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{2}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-3y=2,2x+y=-4$$

Til að gera 4x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 2,4\times 2x+4y=4\left(-4\right)$$

Einfaldaðu.

$$8x-6y=4,8x+4y=-16$$

Dragðu 8x+4y=-16 frá 8x-6y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-6y-4y=4+16$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-4y=4+16$$

Leggðu -6y saman við -4y.

$$-10y=4+16$$

Leggðu 4 saman við 16.

$$-10y=20$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 2x+y=-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-2=-4$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=-2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-2$$