Leysa {l}{4x-3y=16}{-2x+4y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 16 } \\ { - 2 x + 4 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{29}{5} = 5\frac{4}{5} = 5.8$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-3y=16,-2x+4y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-3y=16$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=3y+16$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 3y+16.

$$x=\frac{3}{4}y+4$$

Settu \frac{3y}{4}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+4y=-2.

$$-2\left(\frac{3}{4}y+4\right)+4y=-2$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{3y}{4}+4.

$$-\frac{3}{2}y-8+4y=-2$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við 4y.

$$\frac{5}{2}y-8=-2$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{12}{5}$$

Skiptu \frac{12}{5} út fyrir y í x=\frac{3}{4}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{4}\times \frac{12}{5}+4$$

Margfaldaðu \frac{3}{4} sinnum \frac{12}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{9}{5}+4$$

Leggðu 4 saman við \frac{9}{5}.

$$x=\frac{29}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{29}{5},y=\frac{12}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-3y=16,-2x+4y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 4-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 16+\frac{3}{10}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 16+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{29}{5},y=\frac{12}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-3y=16,-2x+4y=-2$$

Til að gera 4x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-2\times 4x-2\left(-3\right)y=-2\times 16,4\left(-2\right)x+4\times 4y=4\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$-8x+6y=-32,-8x+16y=-8$$

Dragðu -8x+16y=-8 frá -8x+6y=-32 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8x+8x+6y-16y=-32+8$$

Leggðu -8x saman við 8x. Liðirnir -8x og 8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-16y=-32+8$$

Leggðu 6y saman við -16y.

$$-10y=-32+8$$

Leggðu -32 saman við 8.

$$-10y=-24$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=\frac{12}{5}$$

Skiptu \frac{12}{5} út fyrir y í -2x+4y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+4\times \frac{12}{5}=-2$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{12}{5}.

$$-2x+\frac{48}{5}=-2$$

Dragðu \frac{48}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-\frac{58}{5}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=\frac{29}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{29}{5},y=\frac{12}{5}$$