Leysa {l}{4x-2y=8}{2x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-2y=8$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=2y+8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Settu \frac{y}{2}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=2.

$$2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{y}{2}+2.

$$y+4+y=2$$

Leggðu y saman við y.

$$2y+4=2$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=-2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Leggðu 2 saman við -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

Til að gera 4x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$2\times 4x+2\left(-2\right)y=2\times 8,4\times 2x+4y=4\times 2$$

Einfaldaðu.

$$8x-4y=16,8x+4y=8$$

Dragðu 8x+4y=8 frá 8x-4y=16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-4y-4y=16-8$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-4y=16-8$$

Leggðu -4y saman við -4y.

$$-8y=16-8$$

Leggðu 16 saman við -8.

$$-8y=8$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 2x+y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-1=2$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$