Leysa {l}{4x+y=3}{3x-3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 3 } \\ { 3 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{8}{15}\approx 0.533333333$$

$$y=\frac{13}{15}\approx 0.866666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+y=3$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-y+3$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -y+3.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$$

Settu \frac{-y+3}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-3y=-1.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=-1$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-y+3}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}-3y=-1$$

Leggðu -\frac{3y}{4} saman við -3y.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{9}{4}=-1$$

Dragðu \frac{9}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{13}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{15}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{13}{15}$$

Skiptu \frac{13}{15} út fyrir y í x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{13}{15}+\frac{3}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum \frac{13}{15} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{13}{60}+\frac{3}{4}$$

Leggðu \frac{3}{4} saman við -\frac{13}{60} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{8}{15}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-3\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{15}\left(-1\right)\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{4}{15}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{15}\\\frac{13}{15}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Til að gera 4x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 3,4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$12x+3y=9,12x-12y=-4$$

Dragðu 12x-12y=-4 frá 12x+3y=9 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+3y+12y=9+4$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y+12y=9+4$$

Leggðu 3y saman við 12y.

$$15y=9+4$$

Leggðu 9 saman við 4.

$$15y=13$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$y=\frac{13}{15}$$

Skiptu \frac{13}{15} út fyrir y í 3x-3y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-3\times \frac{13}{15}=-1$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{13}{15}.

$$3x-\frac{13}{5}=-1$$

Leggðu \frac{13}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{8}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{8}{15}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$