Leysa {l}{4x+y=-5}{3x-2y=-14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182$$

$$y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+y=-5$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-y-5$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -y-5.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}$$

Settu \frac{-y-5}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=-14.

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-y-5}{4}.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14$$

Leggðu -\frac{3y}{4} saman við -2y.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14$$

Leggðu \frac{15}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{41}{11}$$

Skiptu \frac{41}{11} út fyrir y í x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum \frac{41}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}$$

Leggðu -\frac{5}{4} saman við -\frac{41}{44} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{24}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Til að gera 4x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)$$

Einfaldaðu.

$$12x+3y=-15,12x-8y=-56$$

Dragðu 12x-8y=-56 frá 12x+3y=-15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+3y+8y=-15+56$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y+8y=-15+56$$

Leggðu 3y saman við 8y.

$$11y=-15+56$$

Leggðu -15 saman við 56.

$$11y=41$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=\frac{41}{11}$$

Skiptu \frac{41}{11} út fyrir y í 3x-2y=-14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2\times \frac{41}{11}=-14$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{41}{11}.

$$3x-\frac{82}{11}=-14$$

Leggðu \frac{82}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=-\frac{72}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-\frac{24}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$