Leysa {l}{4x+3y=71}{7x+5y=120}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 71 } \\ { 7 x + 5 y = 120 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+3y=71$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-3y+71$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+71\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -3y+71.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}$$

Settu \frac{-3y+71}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+5y=120.

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}\right)+5y=120$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{-3y+71}{4}.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{497}{4}+5y=120$$

Leggðu -\frac{21y}{4} saman við 5y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{497}{4}=120$$

Dragðu \frac{497}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{17}{4}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -4.

$$y=17$$

Skiptu 17 út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\times 17+\frac{71}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum 17.

$$x=\frac{-51+71}{4}$$

Leggðu \frac{71}{4} saman við -\frac{51}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=17$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{4\times 5-3\times 7}&\frac{4}{4\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 71+3\times 120\\7\times 71-4\times 120\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=17$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Til að gera 4x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 71,4\times 7x+4\times 5y=4\times 120$$

Einfaldaðu.

$$28x+21y=497,28x+20y=480$$

Dragðu 28x+20y=480 frá 28x+21y=497 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$28x-28x+21y-20y=497-480$$

Leggðu 28x saman við -28x. Liðirnir 28x og -28x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$21y-20y=497-480$$

Leggðu 21y saman við -20y.

$$y=497-480$$

Leggðu 497 saman við -480.

$$y=17$$

Skiptu 17 út fyrir y í 7x+5y=120. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+5\times 17=120$$

Margfaldaðu 5 sinnum 17.

$$7x+85=120$$

Dragðu 85 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=35$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=17$$