Leysa {l}{4x+3y=12.5}{3x+3y=10.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 12.5 } \\ { 3 x + 3 y = 10.5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=1.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+3y=12.5$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-3y+12.5$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+12.5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -3y+12.5.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}$$

Settu -\frac{3y}{4}+\frac{25}{8} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+3y=10.5.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}\right)+3y=10.5$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{3y}{4}+\frac{25}{8}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{75}{8}+3y=10.5$$

Leggðu -\frac{9y}{4} saman við 3y.

$$\frac{3}{4}y+\frac{75}{8}=10.5$$

Dragðu \frac{75}{8} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{4}y=\frac{9}{8}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{3}{2}$$

Skiptu \frac{3}{2} út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{2}+\frac{25}{8}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum \frac{3}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

Leggðu \frac{25}{8} saman við -\frac{9}{8} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=\frac{3}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5-10.5\\-12.5+\frac{4}{3}\times 10.5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1.5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=1.5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

Dragðu 3x+3y=10.5 frá 4x+3y=12.5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-3x+3y-3y=\frac{25-21}{2}$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4x-3x=\frac{25-21}{2}$$

Leggðu 4x saman við -3x.

$$x=\frac{25-21}{2}$$

Leggðu 12.5 saman við -10.5 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í 3x+3y=10.5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3\times 2+3y=10.5$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2.

$$6+3y=10.5$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=4.5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=1.5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1.5$$