Leysa {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{31}{9}\approx 3,444444444$$

$$y=\frac{257}{45}\approx 5,711111111$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+2y=25,2$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-2y+25,2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25,2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -2y+25,2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

Settu -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+5y=32.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við 5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

Dragðu \frac{63}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{257}{45}$$

Skiptu \frac{257}{45} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum \frac{257}{45} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

Leggðu \frac{63}{10} saman við -\frac{257}{90} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{31}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25,2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25,2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Til að gera 4x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$4x+2y=25,2;4x+4\times 5y=4\times 32$$

Einfaldaðu.

$$4x+2y=25,2;4x+20y=128$$

Dragðu 4x+20y=128 frá 4x+2y=25,2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+2y-20y=25,2-128$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-20y=25,2-128$$

Leggðu 2y saman við -20y.

$$-18y=25,2-128$$

Leggðu 25,2 saman við -128.

$$-18y=-102,8$$

Deildu báðum hliðum með -18.

$$y=\frac{257}{45}$$

Skiptu \frac{257}{45} út fyrir y í x+5y=32. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{257}{45}.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

Dragðu \frac{257}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{31}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$