Leysa {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=-2$$

$$n=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$4m+9n=-35$$

Dragðu 9n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4m=-9n-35$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -9n-35.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

Settu \frac{-9n-35}{4} inn fyrir m í hinni jöfnunni, 3m-8n=18.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-9n-35}{4}.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

Leggðu -\frac{27n}{4} saman við -8n.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

Leggðu \frac{105}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{59}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$n=-3$$

Skiptu -3 út fyrir n í m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{9}{4} sinnum -3.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

Leggðu -\frac{35}{4} saman við \frac{27}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$m=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=-2,n=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=-2,n=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Til að gera 4m og 3m jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

Einfaldaðu.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

Dragðu 12m-32n=72 frá 12m+27n=-105 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

Leggðu 12m saman við -12m. Liðirnir 12m og -12m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$27n+32n=-105-72$$

Leggðu 27n saman við 32n.

$$59n=-105-72$$

Leggðu -105 saman við -72.

$$59n=-177$$

Deildu báðum hliðum með 59.

$$n=-3$$

Skiptu -3 út fyrir n í 3m-8n=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

Margfaldaðu -8 sinnum -3.

$$3m+24=18$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3m=-6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$m=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=-2,n=-3$$