Leysa {l}{4a-2b-2=0}{9a+3b-2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 a - 2 b - 2 = 0 } \\ { 9 a + 3 b - 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$b=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4a-2b-2=0,9a+3b-2=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$4a-2b-2=0$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4a-2b=2$$

Leggðu 2b saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4a=2b+2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$a=\frac{1}{4}\left(2b+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 2+2b.

$$a=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{1+b}{2} inn fyrir a í hinni jöfnunni, 9a+3b-2=0.

$$9\left(\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}\right)+3b-2=0$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{1+b}{2}.

$$\frac{9}{2}b+\frac{9}{2}+3b-2=0$$

Leggðu \frac{9b}{2} saman við 3b.

$$\frac{15}{2}b+\frac{9}{2}-2=0$$

Leggðu \frac{9}{2} saman við -2.

$$\frac{15}{2}b+\frac{5}{2}=0$$

Dragðu \frac{5}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{15}{2}b=-\frac{5}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{15}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=-\frac{1}{3}$$

Skiptu -\frac{1}{3} út fyrir b í a=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -\frac{1}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$a=-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við -\frac{1}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=\frac{1}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4a-2b-2=0,9a+3b-2=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{15}\\-\frac{3}{10}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 2+\frac{1}{15}\times 2\\-\frac{3}{10}\times 2+\frac{2}{15}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4a-2b-2=0,9a+3b-2=0$$

Til að gera 4a og 9a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$9\times 4a+9\left(-2\right)b+9\left(-2\right)=0,4\times 9a+4\times 3b+4\left(-2\right)=0$$

Einfaldaðu.

$$36a-18b-18=0,36a+12b-8=0$$

Dragðu 36a+12b-8=0 frá 36a-18b-18=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$36a-36a-18b-12b-18+8=0$$

Leggðu 36a saman við -36a. Liðirnir 36a og -36a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-18b-12b-18+8=0$$

Leggðu -18b saman við -12b.

$$-30b-18+8=0$$

Leggðu -18 saman við 8.

$$-30b-10=0$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-30b=10$$

Deildu báðum hliðum með -30.

$$b=-\frac{1}{3}$$

Skiptu -\frac{1}{3} út fyrir b í 9a+3b-2=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$9a+3\left(-\frac{1}{3}\right)-2=0$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{1}{3}.

$$9a-1-2=0$$

Leggðu -1 saman við -2.

$$9a-3=0$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9a=3$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$a=\frac{1}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3}$$