Leysa {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$361x+463y=-102$$

Dragðu 463y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$361x=-463y-102$$

Deildu báðum hliðum með 361.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{361} sinnum -463y-102.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

Settu \frac{-463y-102}{361} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 463x+361y=102.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

Margfaldaðu 463 sinnum \frac{-463y-102}{361}.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

Leggðu -\frac{214369y}{361} saman við 361y.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

Leggðu \frac{47226}{361} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{84048}{361}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

Margfaldaðu -\frac{463}{361} sinnum -1.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

Leggðu -\frac{102}{361} saman við \frac{463}{361} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Til að gera 361x og 463x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 463 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 361.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

Einfaldaðu.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

Dragðu 167143x+130321y=36822 frá 167143x+214369y=-47226 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

Leggðu 167143x saman við -167143x. Liðirnir 167143x og -167143x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

Leggðu 214369y saman við -130321y.

$$84048y=-47226-36822$$

Leggðu -47226 saman við -36822.

$$84048y=-84048$$

Deildu báðum hliðum með 84048.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 463x+361y=102. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

Margfaldaðu 361 sinnum -1.

$$463x-361=102$$

Leggðu 361 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$463x=463$$

Deildu báðum hliðum með 463.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$