Leysa {l}{30x+40y=1800}{40x+30y=3000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 40 y = 1800 } \\ { 40 x + 30 y = 3000 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{660}{7} = 94\frac{2}{7} \approx 94.285714286$$

$$y = -\frac{180}{7} = -25\frac{5}{7} \approx -25.714285714$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$30x+40y=1800$$

Dragðu 40y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$30x=-40y+1800$$

Deildu báðum hliðum með 30.

$$x=\frac{1}{30}\left(-40y+1800\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{30} sinnum -40y+1800.

$$x=-\frac{4}{3}y+60$$

Settu -\frac{4y}{3}+60 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 40x+30y=3000.

$$40\left(-\frac{4}{3}y+60\right)+30y=3000$$

Margfaldaðu 40 sinnum -\frac{4y}{3}+60.

$$-\frac{160}{3}y+2400+30y=3000$$

Leggðu -\frac{160y}{3} saman við 30y.

$$-\frac{70}{3}y+2400=3000$$

Dragðu 2400 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{70}{3}y=600$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{70}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{180}{7}$$

Skiptu -\frac{180}{7} út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y+60. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{180}{7}\right)+60$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum -\frac{180}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{240}{7}+60$$

Leggðu 60 saman við \frac{240}{7}.

$$x=\frac{660}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30\times 30-40\times 40}&-\frac{40}{30\times 30-40\times 40}\\-\frac{40}{30\times 30-40\times 40}&\frac{30}{30\times 30-40\times 40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{70}&\frac{2}{35}\\\frac{2}{35}&-\frac{3}{70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{70}\times 1800+\frac{2}{35}\times 3000\\\frac{2}{35}\times 1800-\frac{3}{70}\times 3000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{660}{7}\\-\frac{180}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

Til að gera 30x og 40x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 40 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 30.

$$40\times 30x+40\times 40y=40\times 1800,30\times 40x+30\times 30y=30\times 3000$$

Einfaldaðu.

$$1200x+1600y=72000,1200x+900y=90000$$

Dragðu 1200x+900y=90000 frá 1200x+1600y=72000 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$1200x-1200x+1600y-900y=72000-90000$$

Leggðu 1200x saman við -1200x. Liðirnir 1200x og -1200x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$1600y-900y=72000-90000$$

Leggðu 1600y saman við -900y.

$$700y=72000-90000$$

Leggðu 72000 saman við -90000.

$$700y=-18000$$

Deildu báðum hliðum með 700.

$$y=-\frac{180}{7}$$

Skiptu -\frac{180}{7} út fyrir y í 40x+30y=3000. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$40x+30\left(-\frac{180}{7}\right)=3000$$

Margfaldaðu 30 sinnum -\frac{180}{7}.

$$40x-\frac{5400}{7}=3000$$

Leggðu \frac{5400}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$40x=\frac{26400}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 40.

$$x=\frac{660}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$