Leysa {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=20$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$30x+15y=675$$

Dragðu 15y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$30x=-15y+675$$

Deildu báðum hliðum með 30.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{30} sinnum -15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Settu \frac{-y+45}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

Margfaldaðu 42 sinnum \frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

Leggðu -21y saman við 20y.

$$-y+945=940$$

Dragðu 945 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-5$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

Leggðu \frac{45}{2} saman við -\frac{5}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=20,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Til að gera 30x og 42x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 42 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 30.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

Einfaldaðu.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

Dragðu 1260x+600y=28200 frá 1260x+630y=28350 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

Leggðu 1260x saman við -1260x. Liðirnir 1260x og -1260x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$630y-600y=28350-28200$$

Leggðu 630y saman við -600y.

$$30y=28350-28200$$

Leggðu 28350 saman við -28200.

$$30y=150$$

Deildu báðum hliðum með 30.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 42x+20y=940. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$42x+20\times 5=940$$

Margfaldaðu 20 sinnum 5.

$$42x+100=940$$

Dragðu 100 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$42x=840$$

Deildu báðum hliðum með 42.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=5$$