Leysa {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=3$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$3y-7x=-9$$

Leggðu 7x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=7x-9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 7x-9.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

Settu \frac{7x}{3}-3 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{7x}{3}-3.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

Leggðu \frac{14x}{3} saman við 5x.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{29}{3}x=29$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{29}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=3$$

Skiptu 3 út fyrir x í y=\frac{7}{3}x-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

Margfaldaðu \frac{7}{3} sinnum 3.

$$y=7-3$$

Leggðu -3 saman við 7.

$$y=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=4,x=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=4,x=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Til að gera 3y og 2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

Einfaldaðu.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

Dragðu 6y+15x=69 frá 6y-14x=-18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

Leggðu 6y saman við -6y. Liðirnir 6y og -6y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-14x-15x=-18-69$$

Leggðu -14x saman við -15x.

$$-29x=-18-69$$

Leggðu -18 saman við -69.

$$-29x=-87$$

Deildu báðum hliðum með -29.

$$x=3$$

Skiptu 3 út fyrir x í 2y+5x=23. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2y+5\times 3=23$$

Margfaldaðu 5 sinnum 3.

$$2y+15=23$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=4,x=3$$