Leysa {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$3y-4x=8$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$3y-4x=8$$

Leggðu 4x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=4x+8$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 8+4x.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

Settu \frac{8+4x}{3} inn fyrir y í hinni jöfnunni, 2y-8x=7.

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{8+4x}{3}.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

Leggðu \frac{8x}{3} saman við -8x.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

Dragðu \frac{16}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{16}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{5}{16}$$

Skiptu -\frac{5}{16} út fyrir x í y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu \frac{4}{3} sinnum -\frac{5}{16} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

Leggðu \frac{8}{3} saman við -\frac{5}{12} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=\frac{9}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$3y-4x=8$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$3y-4x=8$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Til að gera 3y og 2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

Einfaldaðu.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

Dragðu 6y-24x=21 frá 6y-8x=16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

Leggðu 6y saman við -6y. Liðirnir 6y og -6y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8x+24x=16-21$$

Leggðu -8x saman við 24x.

$$16x=16-21$$

Leggðu 16 saman við -21.

$$16x=-5$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$x=-\frac{5}{16}$$

Skiptu -\frac{5}{16} út fyrir x í 2y-8x=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

Margfaldaðu -8 sinnum -\frac{5}{16}.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

Dragðu \frac{5}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=\frac{9}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{9}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$