Leysa {l}{3x-y=6}{2x+1/3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 2 x + \frac { 1 } { 3 } y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y=6$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y+6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y+6.

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

Settu \frac{y}{3}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+\frac{1}{3}y=8.

$$2\left(\frac{1}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=8$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{y}{3}+2.

$$\frac{2}{3}y+4+\frac{1}{3}y=8$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við \frac{y}{3}.

$$y+4=8$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+2$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 4.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

Leggðu 2 saman við \frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{2}{3}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\times \frac{1}{3}y=3\times 8$$

Einfaldaðu.

$$6x-2y=12,6x+y=24$$

Dragðu 6x+y=24 frá 6x-2y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-2y-y=12-24$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-y=12-24$$

Leggðu -2y saman við -y.

$$-3y=12-24$$

Leggðu 12 saman við -24.

$$-3y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 2x+\frac{1}{3}y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+\frac{1}{3}\times 4=8$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 4.

$$2x+\frac{4}{3}=8$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{20}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{10}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$