Leysa {l}{3x-y=1}{5x-3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 1 } \\ { 5 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y=1$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y+1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y+1.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Settu \frac{1+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-3y=1.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=1$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{1+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}-3y=1$$

Leggðu \frac{5y}{3} saman við -3y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}=1$$

Dragðu \frac{5}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{4}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{1}{2}$$

Skiptu \frac{1}{2} út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum \frac{1}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við \frac{1}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3-1}{4}\\\frac{5-3}{4}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5,3\times 5x+3\left(-3\right)y=3$$

Einfaldaðu.

$$15x-5y=5,15x-9y=3$$

Dragðu 15x-9y=3 frá 15x-5y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-5y+9y=5-3$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5y+9y=5-3$$

Leggðu -5y saman við 9y.

$$4y=5-3$$

Leggðu 5 saman við -3.

$$4y=2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=\frac{1}{2}$$

Skiptu \frac{1}{2} út fyrir y í 5x-3y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-3\times \frac{1}{2}=1$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{1}{2}.

$$5x-\frac{3}{2}=1$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=\frac{5}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$