Leysa {l}{3x-y=-1}{-x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = - 1 } \\ { - x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y=-1$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y-1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y-1.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-1+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+2y=7.

$$-\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+2y=7$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{-1+y}{3}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}+2y=7$$

Leggðu -\frac{y}{3} saman við 2y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}=7$$

Dragðu \frac{1}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 4.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við \frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}\times 7\\\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

Til að gera 3x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-3x-\left(-y\right)=-\left(-1\right),3\left(-1\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Einfaldaðu.

$$-3x+y=1,-3x+6y=21$$

Dragðu -3x+6y=21 frá -3x+y=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x+y-6y=1-21$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-6y=1-21$$

Leggðu y saman við -6y.

$$-5y=1-21$$

Leggðu 1 saman við -21.

$$-5y=-20$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í -x+2y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+2\times 4=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$-x+8=7$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-1$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=4$$