Leysa {l}{3x-7y=114}{4x-3y=76}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 114 } \\ { 4 x - 3 y = 76 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=-12$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-7y=114,4x-3y=76$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-7y=114$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=7y+114$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+114\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 7y+114.

$$x=\frac{7}{3}y+38$$

Settu \frac{7y}{3}+38 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-3y=76.

$$4\left(\frac{7}{3}y+38\right)-3y=76$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{7y}{3}+38.

$$\frac{28}{3}y+152-3y=76$$

Leggðu \frac{28y}{3} saman við -3y.

$$\frac{19}{3}y+152=76$$

Dragðu 152 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{3}y=-76$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í x=\frac{7}{3}y+38. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{3}\left(-12\right)+38$$

Margfaldaðu \frac{7}{3} sinnum -12.

$$x=-28+38$$

Leggðu 38 saman við -28.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=-12$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-7y=114,4x-3y=76$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-7\times 4\right)}&-\frac{-7}{3\left(-3\right)-\left(-7\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-\left(-7\times 4\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-7\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&\frac{7}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 114+\frac{7}{19}\times 76\\-\frac{4}{19}\times 114+\frac{3}{19}\times 76\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-12\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=-12$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-7y=114,4x-3y=76$$

Til að gera 3x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$4\times 3x+4\left(-7\right)y=4\times 114,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 76$$

Einfaldaðu.

$$12x-28y=456,12x-9y=228$$

Dragðu 12x-9y=228 frá 12x-28y=456 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-28y+9y=456-228$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-28y+9y=456-228$$

Leggðu -28y saman við 9y.

$$-19y=456-228$$

Leggðu 456 saman við -228.

$$-19y=228$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í 4x-3y=76. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-3\left(-12\right)=76$$

Margfaldaðu -3 sinnum -12.

$$4x+36=76$$

Dragðu 36 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=40$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=-12$$