Leysa {l}{3x-5y-4=0}{15y=4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 = 0 } \\ { 15 y = 4 x + 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 4 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-5y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$15y-4x=3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-5y=4$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=5y+4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Settu \frac{5y+4}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+15y=3.

$$-4\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+15y=3$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{5y+4}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{16}{3}+15y=3$$

Leggðu -\frac{20y}{3} saman við 15y.

$$\frac{25}{3}y-\frac{16}{3}=3$$

Leggðu \frac{16}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{25}{3}y=\frac{25}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{25}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við \frac{5}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 4 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-5y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$15y-4x=3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\\\frac{4}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 4 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-5y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$15y-4x=3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

Til að gera 3x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-4\times 3x-4\left(-5\right)y=-4\times 4,3\left(-4\right)x+3\times 15y=3\times 3$$

Einfaldaðu.

$$-12x+20y=-16,-12x+45y=9$$

Dragðu -12x+45y=9 frá -12x+20y=-16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-12x+12x+20y-45y=-16-9$$

Leggðu -12x saman við 12x. Liðirnir -12x og 12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y-45y=-16-9$$

Leggðu 20y saman við -45y.

$$-25y=-16-9$$

Leggðu -16 saman við -9.

$$-25y=-25$$

Deildu báðum hliðum með -25.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í -4x+15y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x+15=3$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-12$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=1$$