Leysa {l}{3x-5y=-16}{2x-2y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 16 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-5y=-16$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=5y-16$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 5y-16.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}$$

Settu \frac{5y-16}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-2y=-4.

$$2\left(\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}\right)-2y=-4$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{5y-16}{3}.

$$\frac{10}{3}y-\frac{32}{3}-2y=-4$$

Leggðu \frac{10y}{3} saman við -2y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{32}{3}=-4$$

Leggðu \frac{32}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{4}{3}y=\frac{20}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{4}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{3}\times 5-\frac{16}{3}$$

Margfaldaðu \frac{5}{3} sinnum 5.

$$x=\frac{25-16}{3}$$

Leggðu -\frac{16}{3} saman við \frac{25}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{5}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-16\right)+\frac{5}{4}\left(-4\right)\\-\frac{1}{2}\left(-16\right)+\frac{3}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-16\right),3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x-10y=-32,6x-6y=-12$$

Dragðu 6x-6y=-12 frá 6x-10y=-32 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-10y+6y=-32+12$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y+6y=-32+12$$

Leggðu -10y saman við 6y.

$$-4y=-32+12$$

Leggðu -32 saman við 12.

$$-4y=-20$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 2x-2y=-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-2\times 5=-4$$

Margfaldaðu -2 sinnum 5.

$$2x-10=-4$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=5$$