Leysa {l}{3x-2y=4}{2x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 4 } \\ { 2 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=4,2x-y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=4$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 4+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

Settu \frac{4+2y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-y=1.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)-y=1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{4+2y}{3}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}-y=1$$

Leggðu \frac{4y}{3} saman við -y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=1$$

Dragðu \frac{8}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\left(-5\right)+\frac{4}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -5.

$$x=\frac{-10+4}{3}$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við -\frac{10}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=4,2x-y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+2\\-2\times 4+3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=-5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=4,2x-y=1$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 4,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3$$

Einfaldaðu.

$$6x-4y=8,6x-3y=3$$

Dragðu 6x-3y=3 frá 6x-4y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-4y+3y=8-3$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y+3y=8-3$$

Leggðu -4y saman við 3y.

$$-y=8-3$$

Leggðu 8 saman við -3.

$$-y=5$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í 2x-y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-\left(-5\right)=1$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-5$$