Leysa {l}{3x-2y=13}{x+2y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 13 } \\ { x + 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=13,x+2y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=13$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+13$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2y+13.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}$$

Settu \frac{2y+13}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+2y=-1.

$$\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}+2y=-1$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við 2y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{13}{3}=-1$$

Dragðu \frac{13}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{16}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{8}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -2.

$$x=\frac{-4+13}{3}$$

Leggðu \frac{13}{3} saman við -\frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=13,x+2y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 13+\frac{1}{4}\left(-1\right)\\-\frac{1}{8}\times 13+\frac{3}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=13,x+2y=-1$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x-2y=13,3x+3\times 2y=3\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$3x-2y=13,3x+6y=-3$$

Dragðu 3x+6y=-3 frá 3x-2y=13 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x-2y-6y=13+3$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-6y=13+3$$

Leggðu -2y saman við -6y.

$$-8y=13+3$$

Leggðu 13 saman við 3.

$$-8y=16$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x+2y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+2\left(-2\right)=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum -2.

$$x-4=-1$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-2$$