Leysa {l}{3x-2y=1}{x+y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 1 } \\ { x + y = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=1,x+y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=1$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Settu \frac{2y+1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=12.

$$\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}+y=12$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}=12$$

Dragðu \frac{1}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\times 7+\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum 7.

$$x=\frac{14+1}{3}$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við \frac{14}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=1,x+y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 12\\-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=1,x+y=12$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x-2y=1,3x+3y=3\times 12$$

Einfaldaðu.

$$3x-2y=1,3x+3y=36$$

Dragðu 3x+3y=36 frá 3x-2y=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x-2y-3y=1-36$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-3y=1-36$$

Leggðu -2y saman við -3y.

$$-5y=1-36$$

Leggðu 1 saman við -36.

$$-5y=-35$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x+y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+7=12$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=7$$