Leysa {l}{3x-2y=1}{9x-5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 1 } \\ { 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=1,9x-5y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=1$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Settu \frac{2y+1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 9x-5y=1.

$$9\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-5y=1$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{2y+1}{3}.

$$6y+3-5y=1$$

Leggðu 6y saman við -5y.

$$y+3=1$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -2.

$$x=\frac{-4+1}{3}$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við -\frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=1,9x-5y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-5+2}{3}\\-3+1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=1,9x-5y=1$$

Til að gera 3x og 9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$9\times 3x+9\left(-2\right)y=9,3\times 9x+3\left(-5\right)y=3$$

Einfaldaðu.

$$27x-18y=9,27x-15y=3$$

Dragðu 27x-15y=3 frá 27x-18y=9 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$27x-27x-18y+15y=9-3$$

Leggðu 27x saman við -27x. Liðirnir 27x og -27x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-18y+15y=9-3$$

Leggðu -18y saman við 15y.

$$-3y=9-3$$

Leggðu 9 saman við -3.

$$-3y=6$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 9x-5y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$9x-5\left(-2\right)=1$$

Margfaldaðu -5 sinnum -2.

$$9x+10=1$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=-9$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-2$$