Leysa {l}{3x-2y=-3}{2x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 3 } \\ { 2 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=-3$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y-3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

Settu \frac{2y}{3}-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+4y=2.

$$2\left(\frac{2}{3}y-1\right)+4y=2$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{4}{3}y-2+4y=2$$

Leggðu \frac{4y}{3} saman við 4y.

$$\frac{16}{3}y-2=2$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{16}{3}y=4$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{16}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{3}{4}$$

Skiptu \frac{3}{4} út fyrir y í x=\frac{2}{3}y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}-1$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum \frac{3}{4} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{1}{2}-1$$

Leggðu -1 saman við \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{8}\times 2\\-\frac{1}{8}\left(-3\right)+\frac{3}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 2$$

Einfaldaðu.

$$6x-4y=-6,6x+12y=6$$

Dragðu 6x+12y=6 frá 6x-4y=-6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-4y-12y=-6-6$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-12y=-6-6$$

Leggðu -4y saman við -12y.

$$-16y=-6-6$$

Leggðu -6 saman við -6.

$$-16y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -16.

$$y=\frac{3}{4}$$

Skiptu \frac{3}{4} út fyrir y í 2x+4y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+4\times \frac{3}{4}=2$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{3}{4}.

$$2x+3=2$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$