Leysa {l}{3x-2y=-10}{5x-11y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 10 } \\ { 5 x - 11 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=-10$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y-10$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -10+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

Settu \frac{-10+2y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-11y=-9.

$$5\left(\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-11y=-9$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-10+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y-\frac{50}{3}-11y=-9$$

Leggðu \frac{10y}{3} saman við -11y.

$$-\frac{23}{3}y-\frac{50}{3}=-9$$

Leggðu \frac{50}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{23}{3}y=\frac{23}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{23}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{10}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -1.

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

Leggðu -\frac{10}{3} saman við -\frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&-\frac{2}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\left(-10\right)-\frac{2}{23}\left(-9\right)\\\frac{5}{23}\left(-10\right)-\frac{3}{23}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-10\right),3\times 5x+3\left(-11\right)y=3\left(-9\right)$$

Einfaldaðu.

$$15x-10y=-50,15x-33y=-27$$

Dragðu 15x-33y=-27 frá 15x-10y=-50 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-10y+33y=-50+27$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y+33y=-50+27$$

Leggðu -10y saman við 33y.

$$23y=-50+27$$

Leggðu -50 saman við 27.

$$23y=-23$$

Deildu báðum hliðum með 23.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 5x-11y=-9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-11\left(-1\right)=-9$$

Margfaldaðu -11 sinnum -1.

$$5x+11=-9$$

Dragðu 11 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-1$$