Leysa {l}{3x-2y+4=0}{4x+3y+11=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { 4 x + 3 y + 11 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y+4=0,4x+3y+11=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y+4=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x-2y=-4$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y-4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

Settu \frac{-4+2y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+3y+11=0.

$$4\left(\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}\right)+3y+11=0$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-4+2y}{3}.

$$\frac{8}{3}y-\frac{16}{3}+3y+11=0$$

Leggðu \frac{8y}{3} saman við 3y.

$$\frac{17}{3}y-\frac{16}{3}+11=0$$

Leggðu -\frac{16}{3} saman við 11.

$$\frac{17}{3}y+\frac{17}{3}=0$$

Dragðu \frac{17}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{17}{3}y=-\frac{17}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{17}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{4}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -1.

$$x=\frac{-2-4}{3}$$

Leggðu -\frac{4}{3} saman við -\frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y+4=0,4x+3y+11=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-4\right)+\frac{2}{17}\left(-11\right)\\-\frac{4}{17}\left(-4\right)+\frac{3}{17}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y+4=0,4x+3y+11=0$$

Til að gera 3x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 4=0,3\times 4x+3\times 3y+3\times 11=0$$

Einfaldaðu.

$$12x-8y+16=0,12x+9y+33=0$$

Dragðu 12x+9y+33=0 frá 12x-8y+16=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-8y-9y+16-33=0$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y-9y+16-33=0$$

Leggðu -8y saman við -9y.

$$-17y+16-33=0$$

Leggðu 16 saman við -33.

$$-17y-17=0$$

Leggðu 17 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-17y=17$$

Deildu báðum hliðum með -17.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 4x+3y+11=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+3\left(-1\right)+11=0$$

Margfaldaðu 3 sinnum -1.

$$4x-3+11=0$$

Leggðu -3 saman við 11.

$$4x+8=0$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-1$$