Leysa {l}{3x=-4y}{5x-6y=38}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = - 4 y } \\ { 5 x - 6 y = 38 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 4y við báðar hliðar.

$$3x+4y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+4y=0$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-4y$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4\right)y$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4y.

$$x=-\frac{4}{3}y$$

Settu -\frac{4y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-6y=38.

$$5\left(-\frac{4}{3}\right)y-6y=38$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{4y}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-6y=38$$

Leggðu -\frac{20y}{3} saman við -6y.

$$-\frac{38}{3}y=38$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{38}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum -3.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 4y við báðar hliðar.

$$3x+4y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 5}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-6\right)-4\times 5}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 38\\-\frac{3}{38}\times 38\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 4y við báðar hliðar.

$$3x+4y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\times 4y=0,3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 38$$

Einfaldaðu.

$$15x+20y=0,15x-18y=114$$

Dragðu 15x-18y=114 frá 15x+20y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+20y+18y=-114$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y+18y=-114$$

Leggðu 20y saman við 18y.

$$38y=-114$$

Deildu báðum hliðum með 38.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 5x-6y=38. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-6\left(-3\right)=38$$

Margfaldaðu -6 sinnum -3.

$$5x+18=38$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-3$$