Leysa {l}{3x+y=6}{x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 6 } \\ { x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=6$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

Settu -\frac{y}{3}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+3y=6.

$$-\frac{1}{3}y+2+3y=6$$

Leggðu -\frac{y}{3} saman við 3y.

$$\frac{8}{3}y+2=6$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{8}{3}y=4$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{8}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{3}{2}$$

Skiptu \frac{3}{2} út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}+2$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum \frac{3}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Leggðu 2 saman við -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 6-\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x+y=6,3x+3\times 3y=3\times 6$$

Einfaldaðu.

$$3x+y=6,3x+9y=18$$

Dragðu 3x+9y=18 frá 3x+y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+y-9y=6-18$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-9y=6-18$$

Leggðu y saman við -9y.

$$-8y=6-18$$

Leggðu 6 saman við -18.

$$-8y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=\frac{3}{2}$$

Skiptu \frac{3}{2} út fyrir y í x+3y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+3\times \frac{3}{2}=6$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3}{2}.

$$x+\frac{9}{2}=6$$

Dragðu \frac{9}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$