Leysa {l}{3x+y=5}{x+2/5+y/2=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } + \frac { y } { 2 } = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=5$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-y+5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við 2.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum \frac{-y+11}{3}.

$$-\frac{1}{15}y+\frac{11}{15}+\frac{1}{2}y=-1$$

Leggðu -\frac{y}{15} saman við \frac{y}{2}.

$$\frac{13}{30}y+\frac{11}{15}=-1$$

Dragðu \frac{11}{15} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{13}{30}y=-\frac{26}{15}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{13}{30}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -4.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við \frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Einfaldaðu aðra jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum x+2.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}+\frac{1}{2}y=-1$$

Dragðu \frac{2}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{2}y=-\frac{7}{5}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&-\frac{1}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&\frac{3}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&-\frac{10}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{30}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 5-\frac{10}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\\-\frac{2}{13}\times 5+\frac{30}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-4$$