Leysa {l}{3x+y=2}{5x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 5 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=2$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+2.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Settu \frac{-y+2}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-y=8.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=8$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-y+2}{3}.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}-y=8$$

Leggðu -\frac{5y}{3} saman við -y.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=8$$

Dragðu \frac{10}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{8}{3}y=\frac{14}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{8}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{7}{4}$$

Skiptu -\frac{7}{4} út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{7}{4}\right)+\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -\frac{7}{4} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við \frac{7}{12} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{5}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{3}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8$$

Einfaldaðu.

$$15x+5y=10,15x-3y=24$$

Dragðu 15x-3y=24 frá 15x+5y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+5y+3y=10-24$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y+3y=10-24$$

Leggðu 5y saman við 3y.

$$8y=10-24$$

Leggðu 10 saman við -24.

$$8y=-14$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=-\frac{7}{4}$$

Skiptu -\frac{7}{4} út fyrir y í 5x-y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-\left(-\frac{7}{4}\right)=8$$

Dragðu \frac{7}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=\frac{25}{4}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{5}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$