Leysa {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-22$$

$$y=77$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=11$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+11$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+11.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

Settu \frac{-y+11}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x-y=11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{-y+11}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

Leggðu \frac{4y}{3} saman við -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

Leggðu \frac{44}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=77$$

Skiptu 77 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum 77.

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

Leggðu \frac{11}{3} saman við -\frac{77}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-22$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-22,y=77$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-22,y=77$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Til að gera 3x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

Einfaldaðu.

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

Dragðu -12x-3y=33 frá -12x-4y=-44 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

Leggðu -12x saman við 12x. Liðirnir -12x og 12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y+3y=-44-33$$

Leggðu -4y saman við 3y.

$$-y=-44-33$$

Leggðu -44 saman við -33.

$$-y=-77$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=77$$

Skiptu 77 út fyrir y í -4x-y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x-77=11$$

Leggðu 77 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4x=88$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-22$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-22,y=77$$