Leysa {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+6y=24$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-6y+24$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -6y+24.

$$x=-2y+8$$

Settu -2y+8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

Margfaldaðu 9 sinnum -2y+8.

$$-18y+72+5y=68$$

Leggðu -18y saman við 5y.

$$-13y+72=68$$

Dragðu 72 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-13y=-4$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$y=\frac{4}{13}$$

Skiptu \frac{4}{13} út fyrir y í x=-2y+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{4}{13}.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

Leggðu 8 saman við -\frac{8}{13}.

$$x=\frac{96}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Til að gera 3x og 9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

Einfaldaðu.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

Dragðu 27x+15y=204 frá 27x+54y=216 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

Leggðu 27x saman við -27x. Liðirnir 27x og -27x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$54y-15y=216-204$$

Leggðu 54y saman við -15y.

$$39y=216-204$$

Leggðu 216 saman við -204.

$$39y=12$$

Deildu báðum hliðum með 39.

$$y=\frac{4}{13}$$

Skiptu \frac{4}{13} út fyrir y í 9x+5y=68. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{4}{13}.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

Dragðu \frac{20}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=\frac{864}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{96}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$